Question

正方体ABCD―A1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是棱CD的中点.

(1)直线B1F是否平行于平面D1DE？

(2)求二面角C1―BD1―B1的大小；

(3)若点P是棱AB上的一个动点，求四面体DPA1C1体积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）B1F∥平面D1DE （Ⅱ）60°（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）证明：取棱A1B1的中点E1，连结E1D.∵B1E1∥DF且相等 

∴四边形DFB1E1为平行四边形  ∴B1F∥DE1.

又∵B1F平面D1DE，易得DE1平面D1DE,∴B1F∥平面D1DE.

（Ⅱ）取A1C1与B1D1的交点O1，在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1，

重足为H，连结HC1.∵C1O1⊥B1D1，平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，

∴C1O1⊥平面BB1D1D，∴C1H⊥BD1

即∠O1HC1是所求二面角的平面角,

∠O1HC1=60°所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°

（Ⅲ）延长BA到M，使AM=AB连结MD，则∵AB∥DC且相等，

∴AM∥DC且相等   ∴四边形MACD是平行四边形.∴MD∥AC且相等，

又四边形A1ACC1是平行四边形   ∴AC∥A1C1且相等,∴MD∥A1C1且相等

∴MD与A1C1确定一个平面，即平面DA1C1，∴M是直线BA与平面DA1C1的交点.

∴当动点P与B重合时，P到平面DA1C1的距离最大，四面体DP A1C1体积最大.

此时四面体DP A1C1为正四面体，