Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，求出a_n的递推关系式，
（Ⅱ）把（1）题中a_n的递推关系式代入b_n，根据裂项相消法求得T_n，最后解得使得Tn＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答：解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），
则f′（x）=2ax+b，
由于f′（x）=6x-2，得
a=3，b=-2，
所以f（x）=3x²-2x．
又因为点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以S_n=3n²-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6(n+1)-5)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
故T_n=

n

i=1

bi=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…+(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

（1-

1

6n+1

）．
因此，要使

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

m

20

（n∈N^*）成立的m，必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
所以满足要求的最小正整数m为10．

点评：本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．