Question

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

(1) 求点Q的坐标；

(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

 

Answer 1

答案：
解析：

【解】(1) 解方程组      得x1=－4,     x2=8  ; y1=－2,    y2=4    即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).    由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).    令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)   (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).    ∵点P到直线OQ的距离d==,    ,∴SΔOPQ==.   ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,   ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.  ∵函数y=x2+ 8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,   ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.