Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；
（3）如果f(

1

3

)=-1，求满足不等式-f(

1

x-2

)≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）令x₂＞x₁＞0，作差f（x₂）-f（x₁），判断其符号，利用单调性的定义判断即可；
（3）依题意，可求得f（3）=1，f（9）=2，∴-f（

1

x-2

）≥2⇒f（x-2）≥2=f（9），利用f（x）在定义域上是增函数即可求得x的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）设x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
∵

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域上是增函数；
（3）∵f（

1

3

）=f（1）-f（3）=-f（3）=-1，
∴f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x），
∴-f（

1

x-2

）=f（1）-f（

1

x-2

）=f（x-2）≥2=f（9），f（x）在定义域上是增函数，
∴x-2≥9，
解得：x≥11．
∴x的取值范围为[11，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性的判断及应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．