Question

5位员工甲、乙、丙、丁、戊参加单位的技能测试，已知他们测试合格的概率分别是

3

4

，

1

2

，

2

3

，

2

3

，

2

3

．
（Ⅰ）求他们中恰好有一人通过测试的概率；
（Ⅱ）求他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率．

Answer 1

分析：（I）根据所给的概率不同，甲、乙通过测试分别为A、B，丙、丁、戊三人通过测试是独立重复试验，三人中有k人通过测试的概率，根据独立重复试验和互斥事件的概率得到结果．
（II）恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过包括三种情况，这三种情况之间是互斥关系，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）记甲、乙通过测试分别为A、B，丙、丁、戊三人通过测试是独立重复试验，三人中有k人通过测试的概率为P3(k)=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3．
他们中恰有一人通过测试的概率为P(

.

A

•B+A•

.

B

)•P3(0)+P(

.

A

•

.

B

)•P3(1)=(

1

4

•

1

2

+

3

4

•

1

2

)(

1

3

)3+(

1

4

•

1

2

)

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2=

5

108

．
答：他们中恰有一人通过测试的概率为

5

108

．
（Ⅱ）他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率为
P（

.

A

?B+A?

.

B

）?P₃（1）+P（

.

A

?

.

B

）?P₃（2）=（

1

4

?

1

2

+

3

4

?

1

2

）C

1

3

?

2

3

?（

1

3

）²+（

1

4

?

1

2

）C（

2

3

）²?

1

3

=

1

6

．
答：他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率为

1

6

．

点评：考查相互独立事件的概率与独立重复试验的概率．本题完全可以只看作是相互独立事件的概率问题，考虑到丙、丁、戊三人测试合格的概率相同，可以看作是独立重复试验，简化了运算．本题要求学生对独立重复试验有良好的理解．