Question

证明：内切圆半径为定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如图，设∠OAB=a ，∠OBA=b ，AF=AD=x，BE=BD=y，CF=CE=z．∵∠C=90°，圆Ｏ为△ABC内切圆，2b =90°－2a ，即a ＋b =45°，a －b =2a －45°．∵x=rcota ，y=rcotb ，z=r，设△ABC的周长为l，则 若l取最小值，则最大，即2a =45°．∴△ABC为等腰直角三角形． 如图所示，由已知得a ＋b =45°，周长l=2(x＋y＋z)．本题的目的是要证明，当l取最小值时a =b ，故要找出变量x、y与已知r，以及角a 、b 的三角之间的关系，并且利用a ＋b =45°，写出角a 或b 的三角函数表示l的函数式，再通过三角恒等变换，变化成能够求得最小值的函数式．