Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为

3

2

，P为椭圆C上的任一点，△PF₁F₂的周长为4+2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点D（0，

6

2

）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义及其离心率计算公式、b²=a²-c²即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=kx+

6

2

．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系、再利用斜率计算公式及其等比数列的性质即可得出．

解答：解：（1）由题意可得

c a = 3 2 2a+2c=4+2 3

，解得

a=2 c= 3

，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，又过点D(0，

6

2

)，故可设直线l的方程为：y=kx+

6

2

．
联立

y=kx+ 6 2 x2+4y2=4

 消去y得：(1+4k2)x2+4

6

kx+2=0
由△=(4

6

k)2-8(1+4k2)＞0，得：k2＞

1

8

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-4 6 k

1+4k2

，x1x2=

-2

1+4k2

．
y₁y₂=(kx1+

6

2

)(kx2+

6

2

)=k2x1x2+

6

2

k(x1+x2)+

3

2

，
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴

y1

x1

•

y2

x2

=k2，即y1y2=k2x1x2，
∴

6

2

k(x1+x2)+

3

2

=0，
∴

6 k

2

•

-4 6 k

1+4k2

+

3

2

=0，解得：k2=

1

4

，即k=±

1

2

．
∴直线l的方程为：y=±

1

2

x+

6

2

．

点评：熟练掌握椭圆的定义及其离心率计算公式、b²=a²-c²、直线与椭圆相交问题转化为方程联立即可得到根与系数的关系、斜率计算公式及其等比数列的性质等是解题的关键．