题目内容

已知向量
a
=(2sin
x
3
，2cos
x
3
)，
b
=(cos
π
6
，sin
π
6
)，函数f(x)=
a
•
b
（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+π)=
16
5
，f(3β+
5π
2
)=-
20
13
，求cos（α+β）的值．
分析：（1）利用向量数量积的坐标表示及逆用两角和的正弦即可求得y=f（x）的表达式；
（2）依题意，由f（3α+π）=
16
5
可求得cosα与sinα的值；同理，由f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，可求得sinβ与cosβ的值，从而可求cos（α+β）．
解答：解：（1）依题意得f（x）=2sin
x
3
cos
π
6
+2cos
x
3
sin
π
6
=2sin（
x
3
+
π
6
）（4分）
（2）由f（3α+π）=
16
5
得4sin[
1
3
（3α+π）+
π
6
]=
16
5
，
即4sin（α+
π
2
）=
16
5
，
∴cosα=
4
5
，
又∵α∈[0，
π
2
]，
∴sinα=
1-cos2α
=
3
5
，（8分）
由f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，
得4sin[
1
3
（3β+
5π
2
）+
π
6
]=-
20
13
，即4sin（β+π）=-
20
13
，
∴sinβ=
5
13
，又∵β∈[0，
π
2
]，
∴cosβ=
1-sin2β
=
12
13
，（12分）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
4
5
×
12
13
-
3
5
×
5
13
=
33
65
（14分）
点评：本题考查向量数量积的坐标表示，着重考查两角和与差的余弦，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
与
b
是两个共线向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．
已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
a
•
b
-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）在答卷的坐标系中画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
π
12
，
11π
12
]的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．
（2005•东城区一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．
已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=
a
•
b
，并求f（x）的单调递增区间．
（2）若
c
=(2，1)，且
a
-
b
与
c
共线，x为第二象限角，求(
a
+
b
)•
c
的值．
已知向量
a
=(2sinx，sinx-cosx)，
b
=(cosx，
3
(cosx+sinx))，函数f(x)=
a
•
b
+1
（1）当x∈(
π
4
，
π
2
)时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

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