Question

已知函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断f（x）在的单调性，并用定义证明．
（4）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

（1）解：要使函数有意义，应满足＞0，
即（1-x）（x+1）＞0，
解得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）函数f（x）是奇函数．
证明：函数f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称．
且=，
所以函数f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则
=．
因为-1＜x₁＜x₂＜1，
所以1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0
所以，
所以，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
（4）要使，
则有，
∴，
∴，
∴x（x-1）＜0，解得：0＜x＜1，
∴使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）．
分析：（1）直接由对数式的真数大于0解分式不等式得函数的定义域；
（2）运用奇函数的定义，结合对数式的性质进行判断；
（3）利用函数单调性的定义，在作差后注意判断差式的真数与1的大小关系；
（4）把对数不等式转化为分式不等式求解．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，要注意等价转化，此题是中档题．