Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁ 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA₁ ＝，

D 是A₁B₁ 中点．

（1）求证C₁D ⊥平面A₁B ；

（2）当点F 在BB₁ 上什么位置时，会使得AB₁ ⊥平面C₁DF ？并证明你的结论．

Answer 1

(1)同解析，（2）作DE ⊥AB₁ 交AB₁ 于E ，延长DE 交BB₁ 于F ，连结C₁F ，则AB₁ ⊥平面C₁DF ，点F 即为所求

解析:

（1）如图，∵  ABC—A₁B₁C₁ 是直三棱柱，

∴  A₁C₁ ＝B₁C₁ ＝1，且∠A₁C₁B₁ ＝90°．

又 D 是A₁B₁ 的中点，∴  C₁D ⊥A₁B₁ ．

∵  AA₁ ⊥平面A₁B₁C₁ ，C₁D 平面A₁B₁C₁ ，

∴  AA₁ ⊥C₁D ，∴  C₁D ⊥平面AA₁B₁B ．

（2）作DE ⊥AB₁ 交AB₁ 于E ，延长DE 交BB₁ 于F ，连结C₁F ，则AB₁ ⊥平面C₁DF ，点F 即为所求．

事实上，∵  C₁D ⊥平面AA₁BB ，AB₁ 平面AA₁B₁B ，

∴  C₁D ⊥AB₁ ．又AB₁ ⊥DF ，DF C₁D ＝D ，

∴  AB₁ ⊥平面C₁DF ．