Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）证明：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列，并求S_n；
（2）设bn=

Sn

n3

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n(n-1)可得，当n≥2时：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，两式相减可得{

n+1

n

Sn}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求

n+1

n

Sn，进而可求
（2）由（1）可得bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项相消法可求和，即可证明

解答：证明：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，
当n≥2时：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，对n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S1=1
∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1…（12分）

点评：本题主要考查了数列的和与项相互转化的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，裂项求和方法的应用是证明（2）的关键