Question

已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx-ax．若函数f（x）在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是

0＜a＜e

．

Answer 1

分析：利用函数奇偶性的对称性，只要保证x＞0时，函数f（x）上有且仅有两个不同的零点即可．

解答：解：因为f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
所以要使函数f（x）在其定义域上有且仅有四个不同的零点，
则只需函数f（x）在x＞0上有且仅有两个不同的零点即可．
由f（x）=lnx-ax=0得lnx=ax．
设y=lnx，y=ax．
当直线y=ax与y=lnx相切时，
设切点为（x₀，b），则y'=

1

x

，
则切线斜率为k=

1

x0

，所以切线方程为y-lnx0=

1

x0

(x-x0)=

1

x0

x-1，
因为切线过原点，所以有lnx₀=-1，
解得x0=

1

e

，此时k=

1

x0

=e．
所以要使y=lnx与y=ax有两个不同的交点，则0＜a＜e．
故答案为：0＜a＜e．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数与方程的关系，综合性较强．