Question

设函数f(x)=e^x-m-x,其中m∈R.

(1)求函数f(x)的最值;

(2)定理:若函数g(x)在［a,b］上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x₀∈(a,b),使得g(x₀)=0.

试用上述定理判断:当m＞1时,函数f(x)=0在区间(m,2m)内根的个数.(已知f(x)在R上连续)

Answer 1

解:(1)∵f(x)在(-∞,+∞)上连续,f′(x)=e^x-m-1,

令f′(x)=0,得x=m.

当x∈(-∞,m)时,e^x-m＜1,f′(x)＜0;

当x∈(m,+∞)时,e^x-m＞1,f′(x)＞0.①

∴当x=m时,f(x)取极小值也是最小值.

∴f(x)_min=f(m)=1-m;

又当x趋向-∞时,e^x-m趋向于0,∴f(x)=e^x-m-x趋向于无穷大.

∴f(x)无最大值.

(2)函数f(x)在［m,2m］上连续.而f(2m)=e^m-2m,令g(m)=e^m-2m,则g′(m)=e^m-2,∵m＞1,

∴g′(m)＞e-2＞0.∴g(m)在(1,+∞)上递增.

由g(1)=e-2＞0得g(m)＞g(1)＞0,即f(2m)＞0,

又f(m)=1-m＜0,∴f(m)·f(2m)＜0.又f(x)在［m,2m］上为单调增函数,

∴根据定理,可判断函数f(x)=0在区间(m,2m)上只有一根.