Question

【题目】已知 a∈R，函数 f（x）=a﹣ ．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（2）若f（x）为奇函数，求：
①a的值；
②f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证法一：设x1＜x2，

则 ， ，

则f（x1）﹣f（x2）=（a﹣ ）﹣（a﹣ ）= ＜0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

证法二：∵函数 f（x）=a﹣ ．

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增

（2）证明：①若f（x）为奇函数，

则 f（0）=a﹣ =0，

解得：a= ，

②f（x）= ﹣ ，

∵2x+1＞1，

∴0＜ ＜1，

故﹣ ＜f（x）＜ ，

故函数的值域为：（﹣ ， ）

【解析】（1）证法一：设x1＜x2 ， 作差比较作差可得f（x1）＜f（x2），根据函数单调性的定义，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．（2）①若f（x）为奇函数，则 f（0）=0，解得a的值；
②根据①可得函数的解析式，进而可得f（x）的值域．
【考点精析】通过灵活运用函数的值域和函数单调性的判断方法，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较即可以解答此题．