Question

直线l与圆x²+y²=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、1或3
• D、

  1

  2

  或

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可设直线l的方程设直线方程为

x

a

+

y

b

=1，
由题意知a+b=

3

，①
由直线与圆相切，可得

|ab|

a2+b2

=1?a²+b²=a²b²．②联立可解的值，代入三角形的面积公式可求

解答：解：设直线方程为

x

a

+

y

b

=1，
由题意知a+b=

3

，①
由于直线与圆相切，故有

|ab|

a2+b2

=1?a²+b²=a²b²．②
由②得a²+b²=（a+b）²-2ab=a²b²，
将①代入整理，得（ab）²+2ab-3=0?ab=1或-3．
当ab=1时，由于a+b=

3

，
故a＞0，b＞0．
根据重要不等式得a+b=

3

≥2

ab

?ab≤

3

4

．
故ab=1时无解，从而ab=-3，
故直线与坐标轴围成的面积为S=

1

2

|ab|=

3

2

．
故选A

点评：本题 主要考查了直线方程的截距式，直线与圆的位置关系的中的重要关系：相切，重要不等式的应用，综合考查了基本知识的运用能力．