Question

（2012•安庆模拟）已知数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设b_n=

1

an+1

-1（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通项公式；
（3）设c_n=

sin3

cosbn•cosbn+1

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），分别令n=2和n=3，能求出a₃、a₄的值．
（2）当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

-1=

n(1-an)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，故当n≥2时，bn=

n

n-1

bn-1，所以bn+1=

n+1

n

bn，n∈N*，由累乘法能用b_n表示b_n+1并求出{b_n} 的通项公式．
（3）由cn=

sin3

cosbn•cosbn+1

=tan（3n+3）-tan3n，能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=

1

4

，
且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），
∴a3=

(2-1)a2

2-a2

=

1 4

2- 1 4

=

1

7

，
a4=

(3-1)a3

3-a3

=

2× 1 7

3- 1 7

=

1

10

，
∴a3=

1

7

，a4=

1

10

．…（3分）
（2）当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

-1=

n(1-an)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，
∴当n≥2时，bn=

n

n-1

bn-1，
故bn+1=

n+1

n

bn，n∈N*，
累乘得b_n=nb₁，
∵b₁=3，∴b_n=3n，n∈N^*．…（8分）
（3）∵cn=

sin3

cosbn•cosbn+1

=

sin(3n+3-3n)

cos(3n+3)•cos3n

=tan(3n+3)-tan3n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意累积法和裂项求和法的合理运用．