Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把函数f（x）化简为f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，则f（x）可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围，再利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0把t与a分离，得到2a=t+

2

t

，则只需求出t+

2

t

的范围，即可求出a的范围，再借助t+

2

t

型的函数的单调性求范围即可．

解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，则当x∈[-1，1]时，t关于x的函数是单调递增
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，此时f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
当a＜-

3

2

时，f(x)min=f(-

3

2

)=2a2+3a+

17

4

当-

3

2

≤a≤

3

2

时，f（x）_min=a²+2
当a＞

3

2

时，f(x)min=f(

3

2

)=2a2-3a+

17

4

．
（2）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0
∴2a=t+

2

t

，可证明t+

2

t

在(0，

2

)上单调递减，(

2

，

3

2

)上单调递增t+

2

t

≥2

2

t+

2

t

为奇函数，
∴当t∈(-

3

2

，0)时t+

2

t

≤-2

2

∴a的取值范围是(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

点评：本题主要考察了二次函数与其它函数的复合函数的最值的求法，以及t+

2

t

型的函数的单调性的判断．