Question

若在直线y=x上存在点P，P到点A（-m，0）与到点B（m，0）（m＞0）的距离之差为2，则实数m的取值范围为

(

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：由已知，P与O不重合，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，即是说，P应是双曲线与直线在第一象限的交点．问题转化为直线与双曲线相交满足的条件，利用相应的方程组有解解决．

解答：解：易知当P与O重合时，|PA|=|PB|，不合题意．
P与O不重合时，P，A，B三点构成三角形，|PA|-|PA|＜|AB|=2m，∴m＞1，
由双曲线的定义，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
且双曲线方程为x2-

y2

m2-1

=1①与直线方程y=x②联立．
若在直线y=x上存在点P，方程组有正数解解．①②消去得，并化简整理得x²=

m2 -1

m2-2

＞0，∴m²＞2，解得：m∈(

2

，+∞)
故答案为：(

2

，+∞)

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，方程组的解法，以及分析解决问题、计算的能力、数形结合的思想方法．