Question

已知函数f（x）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，g（x）=f′（x）。
（1）证明：当t＜时，g（x）在R上是增函数；
（2）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
（3）证明：。

Answer 1

解：（1）由题设得，
又由≥，且t≤得t＜
即＞0
由此可知，g（x）为R上的增函数。
（2）因为＜0是g（x）为减函数的充分条件，
所以只要找到实数k，使得t＞k时
＜0，即t＞在闭区间[a，b]上成立即可
因此y=在闭区间[a，b]上连续，故在闭区[a，b]上有最大值，设其为k，
t＞k时，＜0在闭区间[a，b]上恒成立，
即在闭区间[a，b]上为减函数。
（3）
即
易得F（t）≥
令则
易知
当x＞0时，＞0
当x＜0，＜0
故当x=0时，取最小值，
所以≥，
于是对任意x、t，有≥，即≥。