Question

某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）=200x+

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x3（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？

Answer 1

分析：先由题意建立利润L（x）的函数关系式，然后利用导数求函数的最值．

解答：解：设该厂生产x件这种产品的利润为L（x）元，则L(x)=500x-2500-C(x)=500x-2500-(200x+

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x3)
=300x-

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x3-2500，x∈N，则L′(x)=300-

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x2，则由L′(x)=300-

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x2=0，解得x=60（件）．
又当0≤x＜60时，L'（x）＞0，函数L（x）单调递增，
当x＞60时，L'（x）＜0，函数L（x）单调递减，
所以x=60是函数L（x）的极大值点，同时也是最大值点，所以当x=60时，L（x）=9500元．
因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．

点评：本题的考点是利用导数解决生活中的优化问题，先建立函数关系，然后利用导数最值，要注意若函数在定义域内只有一个极值点，那么这个极值点也是最值点．