Question

某人有楼房一幢，室内面积共计180m²，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？

Answer 1

分析：先设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=200x+150y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=200x+150y过可行域内的整数点时，从而得到z值即可．

解答：解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元
根据题意得：

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x，y∈N

⇒

6x+5y≤60 5x+3y≤40 x，y∈N

求：z=200x+150y的最大值．
作出约束条件表示的平面区域
把目标函数z=200x+150y化为y=-

4

3

x+

z

150

平移直线，直线越往上移，z越大，
所以当直线经过M点时，z的值最大，
解方程组

6x+5y=60 5x+3y=40

得M(

20

7

，

60

7

)，
因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过M'（3，8）和M''（0，12）时z最大
所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1800元．

点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．