Question

数列{a_n}中，，（n=1，2，3，…）
（1）求a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

解：（1）

（2）由此，猜想
下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，结论成立
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即
那么=
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即
分析：（1）由已知条件，在中分别令n=1，求出a₂，n=2求出a₃．即可．
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式：，，检验n=1时等式成立，假设n=k（k≥1）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时务必用上假设．