Question

15．已知函数f（x）=mx-m-2lnx（m∈R）．
（1）当m=7时，求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值集合A．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求出导数，讨论当m≤0时，f（x）≥0不恒成立；当m＞0时，求得单调区间，可得f（x）_min=f（$\frac{2}{m}$），要使f（x）≥0恒成立，即2-2ln2-m+2lnm≥0，令h（m）=2-2ln2-m+2lnm，利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=7x-7-2lnx，
f′（x）=7-$\frac{2}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线斜率为5，
即有曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y-0=5（x-1），
即为5x-y-5=0；
（2）函数f（x）=mx-m-2lnx（x＞0）的导数为f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，
当m≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当m＞0时，令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2}{m}$，令f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{2}{m}$，
∴函数f（x）在（$\frac{2}{m}$，+∞）上为增函数，在（0，$\frac{2}{m}$）上为减函数．
（2）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≥0不恒成立；
当m＞0时，f（x）_min=f（$\frac{2}{m}$），
要使f（x）≥0恒成立，即2-2ln2-m+2lnm≥0．
令h（m）=2-2ln2-m+2lnm，h′（m）=-1+$\frac{2}{m}$，
可得m∈（0，2）时，h（m）为增函数，
m∈（2，+∞）时，h（m）为减函数，
∴h_max（m）=h（2）=0，即h（m）≤0，
∴m=2．
∴m的取值集合是{2}．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，考查了利用已经证明的结论解决新问题的能力，属于中档题．