Question

已知函数f（a）=log_a（x²-ax+3（a＞0，a≠1））满足：对实数α，β，当α＜β≤

a

2

时，总有f（α）-f（β）＞0，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据已知中对实数α，β，当α＜β≤

a

2

时，总有f（α）-f（β）＞0，我们易得函数f（x）在区间（-∞，

a

2

]单调递减，结合二次函数的单调性，对数函数的单调性及定义域，及复合函数单调性的求法，分别讨论a的不同取值，即可得到满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：若对实数α，β，当α＜β≤

a

2

时，总有f（α）-f（β）＞0，
则函数f（x）在区间（-∞，

a

2

]单调递减，
若函数的解析式有意义则x²-ax+3＞0
令u=x²-ax+3
若0＜a＜1时，则f（u）为减函数，u=x²-ax+3在区间（-∞，

a

2

]单调递减，则复合函数为增函数，不满足条件
若a＞1时，则f（u）为增函数，u=x²-ax+3，在区间（-∞，

a

2

]单调递减，则复合函数在其定义域上为减函数
且满足f（

a

2

）=

12-a2

4

＞0，解得-2

3

＜a＜2

3

∴满足条件的实数a的取值范围（1，2

3

）
故答案为：（1，2

3

）

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据已知条件判断出函数f（x）在区间（-∞，

a

2

]单调递减，是解答本题的关键，但本题易忽略对数函数真数部分必大于0而错解为（1，+∞）．