Question

公民在就业的第一年就交纳养老储备金a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变为a₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
求证：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

Answer 1

分析：这是一个综合考查数列性质的应用题，要求证T_n可以表示为A_n+B_n的形式，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．我们要根据已知中T_n所表示的实际意义，根据T_n表示到第n年末所累计的储备金总额，及储备金总额的计算方法计算T_n，然后对其进行分解，并对分解结合等差数列等比数列的定义进行分析，不难临到结果．

解答：解：T₁=a₁，对n≥2反复使用上述关系式，得
T_n=T_n-1（1+r）+a_n=T_n-2（1+r）²+a_n-1（1+r）+a_n═a₁（1+r）^n-1+a₂（1+r）^n-2++a_n-1（1+r）+a_n，①
在①式两端同乘1+r，得（1+r）T_n=a₁（1+r）ⁿ+a₂（1+r）^n-1++a_n-1（1+r）²+a_n（1+r）②
②-①，得rT_n=a₁（1+r）ⁿ+d[（1+r）^n-1+（1+r）^n-2++（1+r）]-a_n=

d

r

[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an．
即Tn=

a1r+d

r2

(1+r)n-

d

r

n-

a1r+d

r2

．
如果记An=

a1r+d

r2

(1+r)n，Bn=-

a1r+d

r2

-

d

r

n，
则T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

(1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；
{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

为首项，-

d

r

为公差的等差数列．

点评：判断一个数列是否是等差（比）数列，我们有如下办法：①定义法②通项公式法（如本题）③前n项和公式法④等差（比）中项法．