Question

函数f（x）=log_ax在[2，+∞）上恒有|f（x）|＞1，则a取值范围是

 

．

Answer 1

分析：当a＞1时，根据函数的单调性求得函数的最小值为f（2）=log_a2＞0，再由|f（x）|＞1恒成立可得 log_a2＞1，求得a的范围．当 0＜a＜1时，同理求得a的
范围，综合可得结论．

解答：解：当a＞1时，函数f（x）=log_ax在[2，+∞）上单调递增，故函数的最小值为f（2）=log_a2＞0，
由|f（x）|＞1恒成立可得 log_a2＞1，求得1＜a＜2．
当 0＜a＜1时，函数f（x）=log_ax在[2，+∞）上单调递减，故函数的最大值为f（2）=log_a2＜0，
由|f（x）|＞1恒成立可得-log_a2＞1，即log_a2＜-1，求得

1

2

＜a＜1．
综上可得，

1

2

＜a＜1或1＜a＜2，故所求的a的范围是（

1

2

，1）∪（1，2），
故答案为 （

1

2

，1）∪（1，2）．

点评：本题主要考查对数函数的性质，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．