Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（2）已知条件可以转化为a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜

1

e

，∴f（x）的单调递减区间是（0，

1

e

）（4分）
令f'（x）＞0得：x＞

1

e

，∴f（x）的单调递增区间是(

1

e

，+∞)（6分）
（2）g′（x）=3x²+2ax-1，由题意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立　①（9分）
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2 x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．这类题目是高考的常考题．