Question

已知函数f（x）=xln（ax）+e^x-1在点（1，0）处的切线经过椭圆4x²+my²=4m的右焦点，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  5

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：求出函数的导函数，把x=1代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，把x=1代入函数解析式中得到切点的纵坐标，进而确定出切点坐标，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程求得m，从而求得椭圆的离心率即可．

解答：解：由题意得：y′=ln（ax）+1+e^x-1，
把x=1代入得：y′|_x=1=lna+2，
即切线方程的斜率k=lna+2，
且把x=1代入函数解析式得：y=lna+1=0，即a=

1

e

，
则所求切线方程为：y-1=x，即y=x+1．
则椭圆4x²+my²=4m的焦点为（1，0）
∴c²=m-4=1，m=5
∴e=

c

a

=

1

5

故选B．

点评：此题考查椭圆的简单性质、学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．