Question

数列中各项为正数，为其前n项和，对任意，总有成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在最大正整数p，使得命题“，”是真命题？若存在，求出p；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1);(2)详见解析.

试题分析：(1)根据是等差数列，得到,当时，两式相减整理得到关于数列的递推公式，可以知道数列是等差数列，利用求出首项;
(2)第一种方法就是首先假设存在正整数,满足，利用代入得成立即中的最大整数，设,,利用导数易知函数的单调性，易求函数的最小值，
第二种方法设函数，求其导数，得到函数是单调递增函数，其最大值小于0，求出p的范围.
试题解析：（1）由已知时，，∴
两式相减，得     ∴
又为正数，∴.           4分
∴是公差为1的等差数列.
当时，，得，∴.   6分
（2）解法1：假设存在正整数p，满足，即.
∴                                 8分
设函数，则.
当时，，∴在[1，+∞）上为增函数.
∴，即有.
∵p为满足的最大正整数，而，故.   12分
解法2：设，
，
故在[1，+∞）上为减函数，             9分
.
令. ∵，
故使成立的最大正整数.   12分求;2.利用函数的导数求其最值.