Question

（2010•桂林二模）若（1-

1

x

）ⁿ（n∈N，n＞1）的展开式中

1

x

的系数为a_n，

lim

n→∞

(

1

a2

+ 

1

a3

 +…+ 

1

an

 ) 等于

2

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项可求展开式中

1

x

的系数即a_n，然后利用裂项求和可求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，代入可求极限

解答：解：二项展开式的通项为Tr+1=

C

r n

(-

1

x

) r=(-1)r

C

r n

x-

1

2

r
令-

1

2

r=-1可得r=2，此时a_n=

C

2 n

=

n(n-1)

2

∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

)
=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)
=2(1-

1

n

)=

2(n-1)

n

∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

2(n-1)

n

=

lim

n→∞

(2-

2

n

)=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，数列求和的裂项方法的应用及数列的极限的求解，属于二项式与数列知识的综合应用．