题目内容
直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C．
分析：由于BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，可以利用向量的数量积，推出(D为BC的中点) 2
•
=0，BC⊥AD，容易得到AB=AC．又由于A1A=B1B，所以A1C=AB1．
| BC |
| AD |
解答：证明：∵
=
+
，
=
+
，
•
=(
+
)•(
+
)=
•
-
=0，
∴
=
•
同理
=
+
，
=
+
•
=
•
+
=0，
∵
+
=
∴
•
+
•
=0.
=
∴
•(
+
)=0；
设D为BC的中点，则
+
=2
∴2
•
=0，∴BC⊥AD
∴AB=AC．又A1A=B1B，∴A1C=AB1．
| A1C |
| A1C1 |
| C1C |
| BC1 |
| BC |
| CC1 |
| A1C |
| BC1 |
| A1C1 |
| C1C |
| BC |
| CC1 |
| A1C1 |
| BC |
| C1C2 |
∴
| C1C2 |
| A1C1 |
| BC |
同理
| AB1 |
| AB |
| BB1 |
| BC1 |
| BB1 |
| B1C1 |
| AB1 |
| BC1 |
| AB |
| BC |
|
∵
| BB1 |
| B1C1 |
| BC1 |
∴
| AB |
| BC |
| A1C1 |
| BC |
| A1C1 |
| AC |
∴
| BC |
| AB |
| AC |
设D为BC的中点，则
| AB |
| AC |
| AD |
∴2
| BC |
| AD |
∴AB=AC．又A1A=B1B，∴A1C=AB1．
点评：本题考查棱柱的结构特征，向量的数量积等知识，是中档题．
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