Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，，若，则cosB+sinC的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用指数函数的单调性与对数函数的单调性可知b＞a，b＞c且B为锐角，从而可求得cosB+sinC的取值范围．
解答：解：∵2^b＞2^a，log_sin2b＜log_sin2c，
∴b＞a，b＞c；
∴b为△ABC中的最大边；
又•＜0，
∴cos（π-B）＜0，即cosB＞0，
∴0＜B＜，又b为△ABC中的最大边，
∴＜B＜，①
∵b²+c²=a²+bc，及a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=，
∴A=．
∴B+C=π-=．
∴cosB+sinC
=cosB+sin（-B）
=cosB+sincosB-cossinB
=cosB+sinB
=sin（B+），
∵＜B＜，
∴＜B+＜，
∴＜sin（B+）＜．
∴＜sin（B+）＜．
∴cosB+sinC的取值范围为（，）．
故答案为：（，）．
点评：本题考查余弦定理，考查指数函数的单调性与对数函数的单调性，考查平面向量数量积的运算，考查正弦函数的定义域和值域，属于难题．