题目内容

求过抛物线y2=2px的焦点的弦长的最小值.

解：设抛物线的焦点弦的端点A（x1,y1），B（x2,y2），并设焦点弦所在的直线方程为x=my+a，∵弦AB过焦点F（,0）,∴a=.

故直线AB的方程为x=my+

于是x1=my1+，x2=my2+.?

将x=my+代入y2=2px,?

∴y2-2pmy-p2=0.?

∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.?

∴|AB|==·=2p（m2+1）≥2p.

故当m=0，即过焦点的弦垂直于x轴时，

弦的长度最短，其最小值为2p，即过焦点的弦中通径最短.

练习册系列答案
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已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．
已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：
在y2=2px两边同时对x求导，得：2yy′=2p，则y′=
p
y
，所以过P的切线的斜率：k=
p
y0
试用上述方法求出双曲线x2-
y2
2
=1在P(
2
，
2
)处的切线方程为
 
．
（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C1：y2=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 
（1）证明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C2过A、B两点，求曲线C1和C2的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C2的两焦点分别为F1、F2，线段AB上有两点C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F1 F2上是否存在一点P，使PD=
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，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）求函数f（x）=-
2px
（p＞0）在点P(2，-2
p
)处的切方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点，直线l1、l2分别切该抛物线于A、B，l1∩l2=M，求点M的横坐标．
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．

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