Question

【题目】已知函数 .

（1）若在上为减函数，求的取值范围；

（2）若关于的方程在内有唯一解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或

【解析】

（1）根据复合函数的单调性和对数函数的定义域及二次函数的单调性即可求出a的取值范围，

（2）根据对数的运算性质，关于x的方程f（x）＝﹣1+log（x+3）在上仅有一解，转化为上仅有一个交点，即可求出a的取值范围．

（1）令t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0，

∵y＝logt在[a，+∞）上为减函数，

则t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8在[a，+∞）上为增函数，

∵其对称轴为x＝2a﹣1，

∴t在[2a﹣1，+∞）为增函数，

则a≥2a﹣1，且t（a）＞0，即a2﹣2（2a﹣1）a+8＞0，

解得a≤1或﹣＜a＜2，

故a的取值范围为（﹣，1]；

（2）∵方程f（x）＝﹣1+ log（x+3）＝log（2x+6），

∴x2﹣2（2a﹣1）x+8＝2x+6，∴x2﹣4ax+2＝0，

即上仅有一个交点.

令g（x）=，则g（x）在（1，）上递减，在（，3）上递增.

所以g（）=，g（1）=3，g（3）=

可得或

故a的取值范围为 或