题目内容
（2012•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．
分析：（Ⅰ）由∠ADB=90°，得BD⊥AD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．由此能够证明BD⊥PA．
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
=（-a，
a，0），
=（-a，0，0），
=（-a，0，a），
=（-a，
a，-a）．从而得到平面PAB的法向量
=（3，
，3）．同理，求得平面PBC的一个法向量为
=（0，-1，-
）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
| AB |
| 3 |
| BC |
| AP |
| PC |
| 3 |
| n |
| 3 |
| m |
| 3 |
解答：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA?平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，
a，0），C（-a，
a，0），P（0，0，a），
=（-a，
a，0），
=（-a，0，0），
=（-a，0，a），
=（-a，
a，-a）．
设平面PAB的法向量为
=（x，y，z），
得
设y=
，则x=z=3，
得
=（3，
，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为
=（0，-1，-
）．
所以cos＜
，
＞=
=-
．
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-
．…（12分）
（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA?平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
| AB |
| 3 |
| BC |
| AP |
| PC |
| 3 |
设平面PAB的法向量为
| n |
得
|
设y=
| 3 |
得
| n |
| 3 |
同理，可求得平面PBC的一个法向量为
| m |
| 3 |
所以cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
2
| ||
| 7 |
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．易错点是容易忽视二面角是钝角的情况．
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