Question

（2013•天津一模）已知等差数列{a_n}中a₁=1，公差d＞0，前n项和为S_n，且S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设bn=

1

Sn

(n∈N•)，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式即可得到S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，再利用等比数列的定义及S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，可得（1+2d）²=1×（2+7d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．

解答：（Ⅰ）解：由题意S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，
∵S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，
∴（1+2d）²=1×（2+7d），
解得d=-

1

4

（舍去）或d=1
∴a_n=n，
Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴b₁+b₂+…+b_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2
即b₁+b₂+…+b_n＜2．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和是解题的关键．