Question

如图所示，C是半圆弧x²+y²=1（y≥0）上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点的轨迹是

圆

的一部分，D点所经过的路程为

2

π

．

Answer 1

分析：先求AD，BD的斜率，再利用夹角公式可求得点D的轨迹是以点（0，1）为圆心、

2

为半径的半圆，从而可解．

解答：解：设点D（x，y）（其中D点不与A、B两点重合），连接BD，
由题意得，kAD=

y

x+1

，kBD=

y

x-1

∵∠ADB=45°，
∴tan∠ADB=

kBD-kAD

1+kBDkAD

由此化简得x²+（y-1）²=2（其中D点不与A、B两点重合）．
又因为D点在A、B点时也符合题意，因此点D的轨迹是以点（0，1）为圆心、

2

为半径的半圆，
点D所经过的路程

2

π．
故答案为：圆，

2

π

点评：本题以半圆为载体，考查轨迹问题，关键是利用到角公式求解，有一定的难度．