Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=2^（x-1）．
（1）当x＜0时，求f（x）解析式；
（2）当x∈[-1，m]（m＞-1）时，求f（x）取值的集合．
（3）当x∈[a，b]时，函数的值域为[

1

2

，2]，求a，b满足的条件．

Answer 1

分析：（1）求哪设哪，利用函数y=f（x）是偶函数，可求x＜0时f（x）的解析式；
（2）对参数m分类讨论，利用函数的单调性，即可求f（x）取值的集合；
（3）根据x∈[a，b]时，函数的值域为[

1

2

，2]，利用f（x）的单调性和对称性，可求a，b满足的条件．

解答：解：（1）函数y=f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）
当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=2^（-x-1）
∴当x＜0时，f（x）=2^（-x-1）
（2）当-1＜m＜0时，x∈[-1，m]，f（x）=2^（-x-1）为减函数，∴f（x）取值的集合为[2^-m-1，1]
当0≤m＜1时，x∈[-1，m]，f（x）在区间[-1，0]为减函数，在区间[0，m]为增函数，且f（-1）＞f（m），f(-1)=1，f(0)=2(0-1)=

1

2

∴f（x）取值的集合为[

1

2

，1]
当1≤m时，x∈[-1，m]，f（x）在区间[-1，0]为减函数，在区间[0，m]为增函数，且f（-1）≤f（m），f(0)=2(0-1)=

1

2

，f(m)=2(m-1)
∴f（x）取值的集合为[

1

2

，2(m-1)]
综上：当-1＜m＜0时，f（x）取值的集合为[2^-m-1，1]；当0≤m＜1时，f（x）取值的集合为[

1

2

，1]；当1≤m时，f（x）取值的集合为[

1

2

，2(m-1)]；
（3）当x∈[a，b]时，函数的值域为[

1

2

，2]，由f（x）的单调性和对称性知，f（x）的最小值为

1

2

，
∴0∈[a，b]，
∵f（-2）=f（2）=2，
∴当a=-2时，0≤b≤2，当b=2时，-2≤a≤0．

点评：本题考查函数的单调性与对称性，考查函数解析式的确定，考查函数的值域，属于中档题．