题目内容

已知非零向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 满足| $数学公式$ - $数学公式$ |=| $数学公式$ + $数学公式$ |=λ| $数学公式$ |（λ≥2），则向量 $数学公式$ - $数学公式$ 与 $数学公式$ + $数学公式$ 的夹角的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OACB为平行四边形，由条件可得平行四边形OACB为矩形，设| $\text{[math]}$ |=1，则 OA= $\text{[math]}$ ．由余弦定理求得cos∠CDA= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，由此可得∠CDA 的最大值，此最大值即为所求．
解答：

解：∵| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=λ| $\text{[math]}$ |，λ≥2，如图所示：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OACB为平行四边形，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
设| $\text{[math]}$ |=1，则| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=λ，即OC=AB=λ，故平行四边形OACB为矩形， $\text{[math]}$ ．
由勾股定理可得OB²+OA²=AB²，即 1+OA²=λ²，∴OA= $\text{[math]}$ ．
由题意可得， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角即∠CDA，由余弦定理CA²=CD²+DA²-2CD•DA•cos∠CDA，
即 1= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×cos∠CDA∴cos∠CDA= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．
由于λ≥2，∴1- $\text{[math]}$ ≥1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当λ=2时，取等号，故cos∠CDA 的最小值为 $\text{[math]}$ ，
故∠CDA 的最大值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．