Question

（Ⅰ）若a，b∈R，试证：a²+b²≥2（a+b-1）；
（Ⅱ）已知正数a，b满足2 a²+3 b²=9，求证：a

1+b2

≤

6

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证不等式成立，只需证：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，只需证：（a-1）²+（b-1）²≥0成立．
（Ⅱ） 倍要证不等式的左边化为

1

6

×

2a2(3+3b2)

，使用基本不等式可得

1

6

×

2a2(3+3b2)

 ≤

1

6

×

2a2+(3+3b2)

2

，把已知条件代入可证的结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：欲证：a²+b²≥2（a+b-1）成立，只需证：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，
只需证：（a-1）²+（b-1）²≥0成立，上式对a，b∈R显然成立，故原不等式a²+b²≥2（a+b-1）成立．
（Ⅱ）证明：a

1+b2

=

a2(1+b2)

=

1

6

×

2a2(3+3b2)

 
≤

1

6

×

2a2+(3+3b2)

2

=

1

6

×

(2a2+3b2)+3

2

=

1

6

×

9+3

2

=

6

，
当且仅当

2a2+3b2=9 2a2=3+3b2 a＞0，b＞0

，即 

a= 3 b=1

时，取等号，
综上：a

1+b2

≤

6

点评：本题考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形后使用基本不等式是解题的关键和难点．