Question

（本小题满分13分）
设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”.
(1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
(2)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
(3)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，．

Answer 1

解：(1)易证函数满足条件①②，因此.……………4分
(2)假设存在两个实根，则，,
不妨设，由题知存在实数，使得成立.
∵，且，∴与已知矛盾，
所以方程只有一个实数根；……………8分
(3) 不妨设，∵，∴为增函数，∴，
又∵,∴函数为减函数，∴，
∴，即，
∴

解析