Question

【题目】已知椭圆： （）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线： （， ）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在坐标平面上存在一个定点满足条件.

【解析】试题分析：

（1）由题设知a= ，所以 ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程

（2）首先求出动直线过（0，﹣）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出点T的坐标．

解：

（1）∵椭圆： （）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴，∴

又∵椭圆经过点，代入可得.

∴，故所求椭圆方程为.

（2）首先求出动直线过点.

当与轴平行时，以为直径的圆的方程：

当与轴平行时，以为直径的圆的方程：

由解得

即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点.

证明如下：

当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点

当直线不垂直于轴，可设直线：

由消去得：

记点、，则

又因为，

所以

所以，即以为直径的圆恒过点

所以在坐标平面上存在一个定点满足条件.