Question

如图数表满足：（1）第n（n＞1）行首尾两数均为n，第一行为一个数1；（2）表中的递推关系：从第三行起的非首尾两数中的每一个数等于其上一行中它的“肩膀上”的两个数的和．现记第n（n＞1）行第2个数为a_n，如a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，则可以得到递推关系：a_n=

a_n-1+（n-1）

，由此通过有关求解可以求得：

a2011-2

2009

=

1006

（用数字填写）

Answer 1

分析：由图表设第n（n＞1）行第2个数为a_n，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，n≥2，则a_n=a_n-1+（n-1），n≥2．由此能导出a_n=

n(n-1)

2

+1．故a₂₀₁₁=

2011×2010

2

+1=2021056，由此能求出

a2011-2

2009

的值．

解答：解：由图表设第n（n＞1）行第2个数为a_n，
∵a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11…，
∴n≥2，则a_n=a_n-1+（n-1），n≥2．
∵a₂=1+1，
a₃=1+1+2，
a₄=1+1+2+3，
a₅=1+1+2+3+4，
a_n=1+

1

2

（1+n-1）（n-1）=

n(n-1)

2

+1．
∴a₂₀₁₁=

2011×2010

2

+1=2021056，
∴

a2011-2

2009

=

2021056-2

2009

=1006．
故答案为：a_n-1+（n-1），1006．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地利用数列的递推公式进行解题．