Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若

tanAtanB

tanAtanC+tanBtanC

=-

1

6

，则

a2+b2

c2

=

2

3

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系化简已知条件可得-6sinAsinBcosC=sinCsin（A+B），再利用正弦定理和余弦定理求得

a2+b2

c2

的值．

解答：解：在△ABC中，由

tanAtanB

tanAtanC+tanBtanC

=-

1

6

可得，

sinAsinBcosC

sinAsinCcosB+sinBsinCcosA

=-

1

6

，
化简可得-6sinAsinBcosC=sinCsin（A+B），即-6ab•

a2+b 2-c 2

2ab

=c²，
化简可得

a2+b2

c2

=

2

3

，
故答案为 

2

3

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．