Question

如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，BA⊥AD，PA⊥面ABCD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F，且PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求四边形BCEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可得BC∥面PAD，又∵BC?面BCEF，面BCEF∩面PAD=EF由线面平行的性质定理可得答案；
（2）由条件可得EF是△PAD的中位线，可得EF=

1

2

AD=2，进而可证四边形BCEF是平行四边形，再由条件结合线面垂直的判断可得EF⊥面PAB，进而可得四边形BCEF是矩形，在Rt△FAB中，可得FB，代入面积公式S_BCEF=EF•FB计算可得．

解答：（1）证明：∵BC∥AD，BC?面PAD，∴BC∥面PAD…（2分）
又∵BC?面BCEF，面BCEF∩面PAD=EF，∴BC∥EF…（4分）
（2）解：∵BC∥AD，BC∥EF，∴AD∥EF…（5分）
又∵E是PD的中点，∴EF是△PAD的中位线
∴F是PA的中点，且EF=

1

2

AD=2…（6分）
∴FA=

1

2

PA=1，EF=BC…（7分）
∴四边形BCEF是平行四边形                        …（8分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB…（9分）
又∵BA⊥AD，BA∩PA=A，PA、BA?面PAB，∴AD⊥面PAB…（10分）
∵AD∥EF，∴EF⊥面PAB…（11分）
∵FB?面PAB，∴EF⊥FB，∴四边形BCEF是矩形                             …（12分）
在Rt△FAB中，FB=

FA2+AB2

=

12+22

=

5

…（13分）
∴四边形BCEF的面积为SBCEF=EF•FB=2

5

…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判断和性质，涉及直线与平面垂直的判断，属中档题．