题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值-| 2 |
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（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，证明：f（x1）-f（x2）≤
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分析：（1）根据函数是奇函数，得出ac的值，在求出函数的导数，根据在x=1处的有极值得出在x=1处的导数为0，求出b的值
（2）球出导数判断函数的极值，以及在端点处的端点值，比较极值和端点值大小，确定函数的最值，根据函数两最值之差最大证明f（x1）-f（x2）≤
（2）球出导数判断函数的极值，以及在端点处的端点值，比较极值和端点值大小，确定函数的最值，根据函数两最值之差最大证明f（x1）-f（x2）≤
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解答：解：（1）可知b=d=0，（2分）
所以f′（x）=3ax2+c
可知
?
?
，
经检验知：f（x）=
x3-x（4分）
（2）即证f（x）max-f（x）min≤
（6分）
因为f′（x）=x2-1，所以x∈[-1，1]时f′（x）≤0，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
所以f（x）max=f（-1）=
，f（x）min=f（1）=-
，
所以f（x）max-f（x）min≤
，
从而对任意x1，x2∈[-1，1]，有f（x1）-f（x2）≤
，（10分）
所以f′（x）=3ax2+c
可知
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经检验知：f（x）=
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（2）即证f（x）max-f（x）min≤
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因为f′（x）=x2-1，所以x∈[-1，1]时f′（x）≤0，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
所以f（x）max=f（-1）=
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所以f（x）max-f（x）min≤
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从而对任意x1，x2∈[-1，1]，有f（x1）-f（x2）≤
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点评：该题考查函数的求导，考查函数两最值之差最大，考查函数的奇偶性对应的函数奇此项的系数，属于简单题，但是函数两最值之差最大可能会想不到．
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