Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是

3

，在正方体表面上到点A的距离为2的点的轨迹形成的所有曲线的总长度是（　　）

• A．2π
• B．

  4 3

  3

  π
• C．

  5

  2

  π
• D．

  5 3

  3

  π

Answer 1

分析：本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．

解答：解：由题意，此问题的实质是以A为球心、2为半径的球在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个面上交线的长度计算，
正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

π

6

；
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，
由于截面圆半径为r=1，故各段弧圆心角为

π

2

．
∴这条曲线长度为3•

π

6

•2+3•

π

2

•1=

5

2

π
故选C．

点评：本题以正方体为载体，考查轨迹，考查曲线的周长，有一定的难度．