Question

将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

Answer 1

分析：首先列出容积与小正方形的边长的函数关系，建立实际问题的函数模型，利用导数作为工具求解该最值问题．注意自变量的取值范围问题．

解答：解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a-2x，
由于a-2x也要＞0，则x∈（0，

a

2

），
且方盒是以边长为a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，
其体积为V=x(a-2x)2，(x∈(0，

a

2

))
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，则x1=

a

2

，x2=

a

6

，
由x1=

a

2

∉(0，

a

2

)，且对于x∈(0，

a

6

)，V′＞0，x∈(

a

6

，

a

2

)，V′＜0，
∴函数V在点x=

a

6

处取得极大值，由于问题的最大值存在，
∴V（

a

6

）=

2a3

27

即为容积的最大值，此时小正方形的边长为

a

6

．

点评：本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想．体现了实际问题数学化的思想，注意发挥导数的工具作用．