Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x）知f（x）的对称轴是x=1，由 f（x）=x有等根知△=0，从而求得b、a的值；
（2）由二次函数f（x）在[1，2]上是减函数，可得f（x）在[1，2]上的最大、最小值；
（3）计算F（x）=f（x）-f（-x）的解析式，判定F（x）的奇偶性并用定义证明．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

=1①，
又∵方程 f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4a•0=0②，
由①②解得b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式为：f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）知：f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
∵二次函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴当x=1时．y_max=

1

2

，当x=2时，y_min=0，
∴x∈[1，2]时，f（x）的值域是[0，

1

2

]；
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）=（-

1

2

x²+x）-[-

1

2

（-x）²+（-x）]=2x，
∴F（x）是奇函数；
证明：任取x∈R，有F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）是R上的奇函数．

点评：本题考查了二次函数的对称轴、单调性和奇偶性等知识，是基础题．