Question

（文科）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．
（Ⅰ）求证：PA=PC；
（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长度．

Answer 1

分析：（I）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形
（II）先求出∠AOP，在等腰三角形AOB中，求出∠OBC，利用Rt△BOC中，BC=

OB

cos∠OBC

，求出答案．

解答：证明：（I）∵PA与圆O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB
∵BD为圆O的直径，
∴∠BAD=90°
∴∠ADB=90°-∠B
∵BD⊥OP，
∴∠BCO=90°-∠B
∴∠BCO=∠PCA=∠PAB
即△PAC为等腰三角形
∴PA=PC；
（Ⅱ）解：由题意得 Rt△AOP中，cos∠AOP=

OA

OP

=

3

5

，cos

∠AOP

2

=

2 5

5

，sin

∠AOP

2

=

5

5

；
∴∠AOB=

π

2

+∠AOP，
∴等腰三角形AOB中，∠OBC=

π-(  π 2 +∠AOP)

2

=

π

4

-

∠AOP

2

，
由和差角公式得：cos∠OBC=

3 10

10

．
在Rt△BOC中，BC=

OB

cos∠OBC

=

3

3 10 10

=

10

．

点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，难度不大，是基础题．